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### 5. Consider the following program segment: ```text i := 1 total := 1 while i < n do i := i + 1 total := total + i ```` Let ( p ) be the proposition: [ p:\quad ( \text{total} = \frac{i(i+1)}{2} \ \text{and}\ i \le n ) ] Use mathematical induction to prove ( p ) is a loop invariant. --- ## Solution ### Basis Step Before the loop is entered, ( p ) is true since [ \text{total} = 1 = \frac{1(1+1)}{2} ] and [ i \le n ] --- ### Inductive Step Suppose ( p ) is true and ( i = k < n ) after the ( k - 1 )-th execution of the loop. Since ( p ) is true: [ \text{total} = \frac{k(k+1)}{2} ] Suppose that the while loop is executed again. Then ( i ) is incremented to [ i = k + 1 ] Total becomes: [ \begin{aligned} \text{total} &= \text{total}_{\text{prev}} + i \ &= \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) \quad \text{(by inductive hypothesis)} \ &= \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} \ &= \frac{(k+1)(k+2)}{2} \end{aligned} ] --- After the loop, ( i \le n ) and `total` is still of the required form. Therefore, ( p ) is a loop invariant. ∎
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### 5. Consider the following program segment: ```text i := 1 total := 1 while i < n do i := i + 1 total := total + i ```` Let ( p ) be the proposition: [ p:\quad ( \text{total} = \frac{i(i+1)}{2} \ \text{and}\ i \le n ) ] Use mathematical induction to prove ( p ) is a loop invariant. --- ## Solution ### Basis Step Before the loop is entered, ( p ) is true since [ \text{total} = 1 = \frac{1(1+1)}{2} ] and [ i \le n ] --- ### Inductive Step Suppose ( p ) is true and ( i = k < n ) after the ( k - 1 )-th execution of the loop. Since ( p ) is true: [ \text{total} = \frac{k(k+1)}{2} ] Suppose that the while loop is executed again. Then ( i ) is incremented to [ i = k + 1 ] Total becomes: [ \begin{aligned} \text{total} &= \text{total}_{\text{prev}} + i \ &= \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) \quad \text{(by inductive hypothesis)} \ &= \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} \ &= \frac{(k+1)(k+2)}{2} \end{aligned} ] --- After the loop, ( i \le n ) and `total` is still of the required form. Therefore, ( p ) is a loop invariant. ∎

### 4. Given recurrence relation \[ a_n = -a_{n-1} + n \] with initial condition \[ a_0 = 2 \] --- ### (a) Associated homogeneous recurrence relation **Solution:** \[ a_n = -a_{n-1} \] --- ### (b) General solution to the homogeneous recurrence \((a_n^{(h)})\) **Solution:** The characteristic equation has a single root \(-1\), so the general solution is \[ a_n^{(h)} = \alpha(-1)^n \] --- ### (c) Particular solution \((a_n^{(p)})\) **Solution:** Since the non-homogeneous part is \(n\), assume a particular solution of the form \[ a_n^{(p)} = cn + d \] Substitute into the recurrence relation: \[ cn + d = -\big(c(n-1) + d\big) + n \] \[ = -cn + c - d + n \] Rearranging: \[ 2cn - c + 2d - n = 0 \] \[ n(2c - 1) + (2d - c) = 0 \] Set each coefficient equal to zero: \[ 2c - 1 = 0 \Rightarrow c = \frac{1}{2} \] \[ 2d - \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow d = \frac{1}{4} \] Therefore, the particular solution is \[ a_n^{(p)} = \frac{1}{2}n + \frac{1}{4} \]
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### 4. Given recurrence relation \[ a_n = -a_{n-1} + n \] with initial condition \[ a_0 = 2 \] --- ### (a) Associated homogeneous recurrence relation **Solution:** \[ a_n = -a_{n-1} \] --- ### (b) General solution to the homogeneous recurrence \((a_n^{(h)})\) **Solution:** The characteristic equation has a single root \(-1\), so the general solution is \[ a_n^{(h)} = \alpha(-1)^n \] --- ### (c) Particular solution \((a_n^{(p)})\) **Solution:** Since the non-homogeneous part is \(n\), assume a particular solution of the form \[ a_n^{(p)} = cn + d \] Substitute into the recurrence relation: \[ cn + d = -\big(c(n-1) + d\big) + n \] \[ = -cn + c - d + n \] Rearranging: \[ 2cn - c + 2d - n = 0 \] \[ n(2c - 1) + (2d - c) = 0 \] Set each coefficient equal to zero: \[ 2c - 1 = 0 \Rightarrow c = \frac{1}{2} \] \[ 2d - \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow d = \frac{1}{4} \] Therefore, the particular solution is \[ a_n^{(p)} = \frac{1}{2}n + \frac{1}{4} \]

**3. Solve this recurrence relation** \[ a_n = -3a_{n-1} + 18a_{n-2} \] with initial conditions \[ a_0 = 2,\quad a_1 = 9. \]
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**3. Solve this recurrence relation** \[ a_n = -3a_{n-1} + 18a_{n-2} \] with initial conditions \[ a_0 = 2,\quad a_1 = 9. \]

## 2. Let \( G \) be the context-free grammar with non-terminal symbols \( V = \{S, A, B\} \), terminal symbols \( \Sigma = \{a, b\} \), start symbol \( S \), and productions \( P \): - \( S \to ABb \) - \( S \to Bb \) - \( A \to aB \) - \( A \to b \) - \( B \to ab \) - \( B \to \epsilon \) ### Which of these strings can be generated by \( G \)? (a) ab (b) bb (c) baaba (d) aababb (e) abb (f) bbb --- ### Solution All strings must end in **b**, that eliminates **(c)**. It isn’t possible to make three consecutive **b**’s, so **(f)** is eliminated. **(a), (b), (d), and (e)** are all generated by \( G \).
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## 2. Let \( G \) be the context-free grammar with non-terminal symbols \( V = \{S, A, B\} \), terminal symbols \( \Sigma = \{a, b\} \), start symbol \( S \), and productions \( P \): - \( S \to ABb \) - \( S \to Bb \) - \( A \to aB \) - \( A \to b \) - \( B \to ab \) - \( B \to \epsilon \) ### Which of these strings can be generated by \( G \)? (a) ab (b) bb (c) baaba (d) aababb (e) abb (f) bbb --- ### Solution All strings must end in **b**, that eliminates **(c)**. It isn’t possible to make three consecutive **b**’s, so **(f)** is eliminated. **(a), (b), (d), and (e)** are all generated by \( G \).

Let G be the context-free grammar with non-terminal symbols V = {S, A, B}, terminal symbols Σ = {a, b}, start symbol S, and productions P: • S → ABb • S → Bb • A → aB • A → b • B → ab • B → ϵ Which of these strings can be generated by G? (a) ab (b) bb (c) baaba (d) aababb (e) abb (f) bbb
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Let G be the context-free grammar with non-terminal symbols V = {S, A, B}, terminal symbols Σ = {a, b}, start symbol S, and productions P: • S → ABb • S → Bb • A → aB • A → b • B → ab • B → ϵ Which of these strings can be generated by G? (a) ab (b) bb (c) baaba (d) aababb (e) abb (f) bbb

Draw a transition diagram for a deterministic finite-state automaton over Σ = {0, 1} that recognizes any string ending with 111
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Draw a transition diagram for a deterministic finite-state automaton over Σ = {0, 1} that recognizes any string ending with 111

七年级数学 / 不等式与不等式组 / 一元一次不等式 一、核心定义（关键判定条件） 一元一次不等式需同时满足 3 个条件，缺一不可： 只含1 个未知数（如 x、y，仅 1 种）； 未知数的次数为 1（无平方、立方等高于 1 次的项）； 不等式左右两边均为整式（无分母含未知数、无根号含未知数的情况）。 示例：3x+2>5（符合）、2x²-1≤0（未知数次数 2，不符）、 x 1 ​ +3<2 （分母含未知数，不符） 二、不等式的 3 个核心性质（运算依据，重点记性质 3） 性质 1：加减不变号 不等式两边同时加、减同一个数（或同一个整式），不等号方向不变。 公式：若 a>b，则 a±c > b±c；若 a<b，则 a±c < b±c 示例：5>3 → 5+2>3+2（7>5）、5-4>3-4（1>-1） 性质 2：乘除正数不变号 不等式两边同时乘、除同一个正数，不等号方向不变。 公式：若 a>b、c>0，则 ac > bc、 c a ​ > c b ​ ；若 a<b、c>0，则 ac < bc、 c a ​ < c b ​ 示例：4<6 → 4×2<6×2（8<12）、4÷2<6÷2（2<3） 性质 3：乘除负数必变号（易错点） 不等式两边同时乘、除同一个负数，不等号方向必须改变（> 变 <、≥变≤，反之亦然）。 公式：若 a>b、c<0，则 ac < bc、 c a ​ < c b ​ ；若 a<b、c<0，则 ac> bc、 c a ​ > c b ​ 示例：4<6 → 4×(-2)>6×(-2)（-8>-12）、4÷(-2)>6÷(-2)（-2>-3） 三、不等式的解集与数轴表示（直观呈现解的范围） 1. 解集定义 能使不等式成立的所有未知数的值的集合，叫不等式的解集（区别于 “解”：解是单个值，解集是所有符合条件的值）。 示例：不等式 x+1>3 的解有无数个（x=3、4、5…），解集为 x>2。 2. 数轴表示步骤（3 步到位，不踩错） 画数轴：标注原点、正方向（向右）、单位长度（均匀分段）； 定界点：解集含等号（≥、≤）→ 画实心圆点（表示包含该点）；解集不含等号（>、<）→ 画空心圆圈（表示不包含该点）； 定方向：解集为 “>、≥”→ 从界点向右画射线；解集为 “<、≤”→ 从界点向左画射线。 示例： x>2：数轴上 2 处画空心圆圈，向右画射线； x≤-1：数轴上 - 1 处画实心圆点，向左画射线。 四、解一元一次不等式的 5 步流程（类比一元一次方程，注意变号） 步骤 1：去分母（若有分母） 依据：不等式性质 2、3； 注意：两边同乘所有分母的最小公倍数，别漏乘 “不含分母的项”；若分母为负数，乘完后需按性质 3 改变不等号方向。 示例： 2 x ​ +1>3 → 两边乘 2：x + 2 > 6（无漏乘，分母为正，不变号）。 步骤 2：去括号（若有括号） 依据：乘法分配律（a (b±c)=ab±ac）； 注意：括号前是负号，去括号后括号内所有项需变号（正变负、负变正）。 示例：2 (x-3)+1≤5 → 去括号：2x - 6 + 1 ≤ 5。 步骤 3：移项（含未知数的项移左，常数项移右） 依据：不等式性质 1； 注意：移项的项需变号（移左变右、正变负、负变正），未移项的项不变号。 示例：2x - 6 + 1 ≤ 5 → 移项：2x ≤ 5 + 6 - 1（-6、+1 移右变 + 6、-1）。 步骤 4：合并同类项 依据：合并同类项法则（同类项系数相加，字母及次数不变）； 左右两边分别合并，简化为 “ax>b”“ax<b”“ax≥b”“ax≤b”（a≠0）的形式。 示例：2x ≤ 5 + 6 - 1 → 合并：2x ≤ 10。 步骤 5：系数化为 1（求最终解集） 依据：不等式性质 2、3； 注意：两边同除以未知数的系数 a： 若 a>0：不等号方向不变； 若 a<0：不等号方向必须改变。 示例：2x ≤ 10（a=2>0，不变号）→ x ≤ 5；-3x>6（a=-3<0，变号）→ x<-2。 五、常见易错点总结（避坑关键） 去分母漏乘：忘记乘 “不含分母的常数项”（如 3 x ​ −2>1 ，漏乘 2 得 x-2>3，错误）； 乘除负数忘变号：系数化为 1 时，a<0 却不换不等号方向（如 - 2x≤4，错解 x≤-2，正解 x≥-2）； 界点标注错误：含等号画空心、不含等号画实心（如 x≥3 画空心，错误）； 射线方向颠倒：“>” 向左画、“<” 向右画（如 x>1 向左画，错误）。（五分钟以内视频）
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七年级数学 / 不等式与不等式组 / 一元一次不等式 一、核心定义（关键判定条件） 一元一次不等式需同时满足 3 个条件，缺一不可： 只含1 个未知数（如 x、y，仅 1 种）； 未知数的次数为 1（无平方、立方等高于 1 次的项）； 不等式左右两边均为整式（无分母含未知数、无根号含未知数的情况）。 示例：3x+2>5（符合）、2x²-1≤0（未知数次数 2，不符）、 x 1 ​ +3<2 （分母含未知数，不符） 二、不等式的 3 个核心性质（运算依据，重点记性质 3） 性质 1：加减不变号 不等式两边同时加、减同一个数（或同一个整式），不等号方向不变。 公式：若 a>b，则 a±c > b±c；若 a<b，则 a±c < b±c 示例：5>3 → 5+2>3+2（7>5）、5-4>3-4（1>-1） 性质 2：乘除正数不变号 不等式两边同时乘、除同一个正数，不等号方向不变。 公式：若 a>b、c>0，则 ac > bc、 c a ​ > c b ​ ；若 a<b、c>0，则 ac < bc、 c a ​ < c b ​ 示例：4<6 → 4×2<6×2（8<12）、4÷2<6÷2（2<3） 性质 3：乘除负数必变号（易错点） 不等式两边同时乘、除同一个负数，不等号方向必须改变（> 变 <、≥变≤，反之亦然）。 公式：若 a>b、c<0，则 ac < bc、 c a ​ < c b ​ ；若 a<b、c<0，则 ac> bc、 c a ​ > c b ​ 示例：4<6 → 4×(-2)>6×(-2)（-8>-12）、4÷(-2)>6÷(-2)（-2>-3） 三、不等式的解集与数轴表示（直观呈现解的范围） 1. 解集定义 能使不等式成立的所有未知数的值的集合，叫不等式的解集（区别于 “解”：解是单个值，解集是所有符合条件的值）。 示例：不等式 x+1>3 的解有无数个（x=3、4、5…），解集为 x>2。 2. 数轴表示步骤（3 步到位，不踩错） 画数轴：标注原点、正方向（向右）、单位长度（均匀分段）； 定界点：解集含等号（≥、≤）→ 画实心圆点（表示包含该点）；解集不含等号（>、<）→ 画空心圆圈（表示不包含该点）； 定方向：解集为 “>、≥”→ 从界点向右画射线；解集为 “<、≤”→ 从界点向左画射线。 示例： x>2：数轴上 2 处画空心圆圈，向右画射线； x≤-1：数轴上 - 1 处画实心圆点，向左画射线。 四、解一元一次不等式的 5 步流程（类比一元一次方程，注意变号） 步骤 1：去分母（若有分母） 依据：不等式性质 2、3； 注意：两边同乘所有分母的最小公倍数，别漏乘 “不含分母的项”；若分母为负数，乘完后需按性质 3 改变不等号方向。 示例： 2 x ​ +1>3 → 两边乘 2：x + 2 > 6（无漏乘，分母为正，不变号）。 步骤 2：去括号（若有括号） 依据：乘法分配律（a (b±c)=ab±ac）； 注意：括号前是负号，去括号后括号内所有项需变号（正变负、负变正）。 示例：2 (x-3)+1≤5 → 去括号：2x - 6 + 1 ≤ 5。 步骤 3：移项（含未知数的项移左，常数项移右） 依据：不等式性质 1； 注意：移项的项需变号（移左变右、正变负、负变正），未移项的项不变号。 示例：2x - 6 + 1 ≤ 5 → 移项：2x ≤ 5 + 6 - 1（-6、+1 移右变 + 6、-1）。 步骤 4：合并同类项 依据：合并同类项法则（同类项系数相加，字母及次数不变）； 左右两边分别合并，简化为 “ax>b”“ax<b”“ax≥b”“ax≤b”（a≠0）的形式。 示例：2x ≤ 5 + 6 - 1 → 合并：2x ≤ 10。 步骤 5：系数化为 1（求最终解集） 依据：不等式性质 2、3； 注意：两边同除以未知数的系数 a： 若 a>0：不等号方向不变； 若 a<0：不等号方向必须改变。 示例：2x ≤ 10（a=2>0，不变号）→ x ≤ 5；-3x>6（a=-3<0，变号）→ x<-2。 五、常见易错点总结（避坑关键） 去分母漏乘：忘记乘 “不含分母的常数项”（如 3 x ​ −2>1 ，漏乘 2 得 x-2>3，错误）； 乘除负数忘变号：系数化为 1 时，a<0 却不换不等号方向（如 - 2x≤4，错解 x≤-2，正解 x≥-2）； 界点标注错误：含等号画空心、不含等号画实心（如 x≥3 画空心，错误）； 射线方向颠倒：“>” 向左画、“<” 向右画（如 x>1 向左画，错误）。（五分钟以内视频）

七年级数学：数据的收集、整理与描述 —— 统计调查 一、统计调查的基本概念 总体：要考察的全体对象个体：组成总体的每一个考察对象样本：从总体中抽取的一部分个体样本容量：样本中个体的数目（不带单位） 二、调查方式 1. 全面调查（普查） 定义：考察全体对象的调查 适用场景： 调查范围小、对象数量少 精确度要求高、事关重大 如：班级同学身高调查、飞船零部件检查 2. 抽样调查 定义：只抽取部分对象进行调查，根据样本推断总体 适用场景： 调查对象数量庞大 调查具有破坏性 如：灯泡使用寿命测试、水质调查 3. 调查方式选择原则 情况 建议调查方式 原因 范围小、易操作 全面调查 数据准确、全面 范围大、数量多 抽样调查 节省人力物力 具有破坏性 抽样调查 避免全部损坏 精确度要求高 全面调查 确保结果准确 三、统计调查的一般步骤 确定调查问题：明确要研究什么 确定调查对象：明确研究的总体 选择调查方法：全面调查或抽样调查 设计调查问卷：设计合理的问题收集数据 收集数据：通过问卷、访谈等方式获取数据 整理数据：使用划记法（"正" 字计数）统计数据 描述数据：用统计表、统计图展示结果 分析数据，得出结论：解读数据，提出建议 四、数据收集方法 1. 问卷调查法 设计要点：问题明确、选项互斥、便于统计 例："你最喜欢的运动是：A. 篮球 B. 足球 C. 羽毛球 D. 其他" 2. 其他收集方法 访问调查：面对面交流获取信息 实地调查：直接观察记录数据 媒体调查：通过报纸、网络等收集现成数据 五、数据整理方法 划记法（"正" 字计数法） 每个 "正" 字代表 5 个数据 步骤： 列出所有类别 逐一读取数据，在对应类别下画 "正" 字 统计 "正" 字数量，计算总数 频数与频率 频数：落在各小组内的数据个数 频率：频数 ÷ 数据总数（所有频率之和为 1） 公式：频率 = 频数 ÷ 总数，频数 = 频率 × 总数 六、数据描述方法 1. 统计表 将数据按类别整理成表格，清晰展示数量关系 优点：数据准确、可详细记录信息 缺点：不够直观 2. 统计图（重点） （1）条形统计图 特点：用等宽条形的高度表示数据多少，便于比较 适用场景：比较不同类别数据的大小 制作步骤： 画两条互相垂直的数轴（横轴表示类别，纵轴表示数量） 根据数据大小确定单位长度 画出对应高度的条形，宽度一致，间隔相等 （2）扇形统计图 特点：用圆代表总体，扇形大小表示各部分占比 适用场景：展示各部分在总体中所占百分比 制作关键： 计算各部分百分比：(部分数量 ÷ 总数)×100% 计算圆心角度数：百分比 ×360° 用量角器画出对应扇形 （3）折线统计图 特点：用折线起伏表示数据变化趋势 适用场景：反映数据随时间或顺序的变化规律 制作步骤： 建立坐标系（横轴表示时间 / 顺序，纵轴表示数量） 标出数据点 用线段依次连接各点 3. 统计图选择标准 比较数据大小：选条形图 展示比例关系：选扇形图 反映变化趋势：选折线图 七、典型例题 例 1：调查方式选择 下列调查中，适合全面调查的是（ ）A. 了解某品牌灯泡的使用寿命B. 调查全班同学的视力情况C. 了解某市中学生的课外阅读情况D. 检测某批次汽车的抗撞击能力 答案：B（A、C、D 适合抽样调查，B 范围小，适合全面调查） 例 2：总体、个体、样本、样本容量 为了解某校七年级 200 名学生的身高情况，从中抽取 50 名学生测量身高。 总体：该校七年级 200 名学生的身高个体：每名七年级学生的身高样本：抽取的 50 名学生的身高样本容量：50 例 3：数据整理与描述 某班对 "最喜欢的水果" 进行调查，结果如下：苹果：正正正香蕉：正正橙子：正其他：正 （1）该班共有多少人？（2）喜欢苹果的频率是多少？ 解：（1）总人数 = 3×5 + 2×5 + 1×5 + 1×5 = 35（人）（2）喜欢苹果的频率 = 15÷35 ≈ 0.429（或 42.9%） 八、总结与应用 核心要点： 统计调查是收集、整理、分析数据的基础方法 掌握两种调查方式的选择与应用场景 学会设计问卷、整理数据（划记法）和选择合适的统计图描述数据 实际应用：统计调查在生活中广泛应用，如市场调研、健康调查、民意测验等。掌握统计调查方法，有助于我们科学分析问题，做出合理决策。 学习建议： 选择一个感兴趣的话题（如班级同学的爱好、家庭用水量等），亲自设计并实施一次简单的统计调查 练习根据不同数据特点选择合适的统计图进行描述
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七年级数学：数据的收集、整理与描述 —— 统计调查 一、统计调查的基本概念 总体：要考察的全体对象个体：组成总体的每一个考察对象样本：从总体中抽取的一部分个体样本容量：样本中个体的数目（不带单位） 二、调查方式 1. 全面调查（普查） 定义：考察全体对象的调查 适用场景： 调查范围小、对象数量少 精确度要求高、事关重大 如：班级同学身高调查、飞船零部件检查 2. 抽样调查 定义：只抽取部分对象进行调查，根据样本推断总体 适用场景： 调查对象数量庞大 调查具有破坏性 如：灯泡使用寿命测试、水质调查 3. 调查方式选择原则 情况 建议调查方式 原因 范围小、易操作 全面调查 数据准确、全面 范围大、数量多 抽样调查 节省人力物力 具有破坏性 抽样调查 避免全部损坏 精确度要求高 全面调查 确保结果准确 三、统计调查的一般步骤 确定调查问题：明确要研究什么 确定调查对象：明确研究的总体 选择调查方法：全面调查或抽样调查 设计调查问卷：设计合理的问题收集数据 收集数据：通过问卷、访谈等方式获取数据 整理数据：使用划记法（"正" 字计数）统计数据 描述数据：用统计表、统计图展示结果 分析数据，得出结论：解读数据，提出建议 四、数据收集方法 1. 问卷调查法 设计要点：问题明确、选项互斥、便于统计 例："你最喜欢的运动是：A. 篮球 B. 足球 C. 羽毛球 D. 其他" 2. 其他收集方法 访问调查：面对面交流获取信息 实地调查：直接观察记录数据 媒体调查：通过报纸、网络等收集现成数据 五、数据整理方法 划记法（"正" 字计数法） 每个 "正" 字代表 5 个数据 步骤： 列出所有类别 逐一读取数据，在对应类别下画 "正" 字 统计 "正" 字数量，计算总数 频数与频率 频数：落在各小组内的数据个数 频率：频数 ÷ 数据总数（所有频率之和为 1） 公式：频率 = 频数 ÷ 总数，频数 = 频率 × 总数 六、数据描述方法 1. 统计表 将数据按类别整理成表格，清晰展示数量关系 优点：数据准确、可详细记录信息 缺点：不够直观 2. 统计图（重点） （1）条形统计图 特点：用等宽条形的高度表示数据多少，便于比较 适用场景：比较不同类别数据的大小 制作步骤： 画两条互相垂直的数轴（横轴表示类别，纵轴表示数量） 根据数据大小确定单位长度 画出对应高度的条形，宽度一致，间隔相等 （2）扇形统计图 特点：用圆代表总体，扇形大小表示各部分占比 适用场景：展示各部分在总体中所占百分比 制作关键： 计算各部分百分比：(部分数量 ÷ 总数)×100% 计算圆心角度数：百分比 ×360° 用量角器画出对应扇形 （3）折线统计图 特点：用折线起伏表示数据变化趋势 适用场景：反映数据随时间或顺序的变化规律 制作步骤： 建立坐标系（横轴表示时间 / 顺序，纵轴表示数量） 标出数据点 用线段依次连接各点 3. 统计图选择标准 比较数据大小：选条形图 展示比例关系：选扇形图 反映变化趋势：选折线图 七、典型例题 例 1：调查方式选择 下列调查中，适合全面调查的是（ ）A. 了解某品牌灯泡的使用寿命B. 调查全班同学的视力情况C. 了解某市中学生的课外阅读情况D. 检测某批次汽车的抗撞击能力 答案：B（A、C、D 适合抽样调查，B 范围小，适合全面调查） 例 2：总体、个体、样本、样本容量 为了解某校七年级 200 名学生的身高情况，从中抽取 50 名学生测量身高。 总体：该校七年级 200 名学生的身高个体：每名七年级学生的身高样本：抽取的 50 名学生的身高样本容量：50 例 3：数据整理与描述 某班对 "最喜欢的水果" 进行调查，结果如下：苹果：正正正香蕉：正正橙子：正其他：正 （1）该班共有多少人？（2）喜欢苹果的频率是多少？ 解：（1）总人数 = 3×5 + 2×5 + 1×5 + 1×5 = 35（人）（2）喜欢苹果的频率 = 15÷35 ≈ 0.429（或 42.9%） 八、总结与应用 核心要点： 统计调查是收集、整理、分析数据的基础方法 掌握两种调查方式的选择与应用场景 学会设计问卷、整理数据（划记法）和选择合适的统计图描述数据 实际应用：统计调查在生活中广泛应用，如市场调研、健康调查、民意测验等。掌握统计调查方法，有助于我们科学分析问题，做出合理决策。 学习建议： 选择一个感兴趣的话题（如班级同学的爱好、家庭用水量等），亲自设计并实施一次简单的统计调查 练习根据不同数据特点选择合适的统计图进行描述

一元一次不等式组 一、基本概念 定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式联立组成的式子，叫做一元一次不等式组。 关键条件： 每个不等式必须是一元一次不等式（只含一个未知数，且未知数次数为 1） 所有不等式必须含有同一个未知数 不等式组中至少有两个不等式 解集：不等式组中所有不等式解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集。如果没有公共部分，则称不等式组无解。 二、不等式的基本性质（解不等式的依据） 性质 1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变。若 a > b，则 a ± c > b ± c 性质 2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。若 a > b，c > 0，则 ac > bc（或 a/c > b/c） 性质 3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。若 a > b，c < 0，则 ac < bc（或 a/c < b/c） 三、一元一次不等式组的解法 1. 解法步骤 步骤 1：分别求出不等式组中每个不等式的解集步骤 2：将每个不等式的解集在同一个数轴上表示出来步骤 3：利用数轴找出这些解集的公共部分，即为不等式组的解集 2. 解集确定口诀（简化判断） 不等式组形式 解集 口诀 x > a x > b (a < b) x > b 同大取大 x < a x < b (a < b) x < a 同小取小 x > a x < b (a < b) a < x < b 大小小大中间找 x < a x > b (a < b) 无解 大大小小找不到 前提：不等式已化为最简形式 3. 例题解析 例 1：解不等式组 plaintext { 2x - 1 > 3 ① x + 1 < 4 ② } 解： 解不等式①：2x - 1 > 3 → 2x > 4 → x > 2 解不等式②：x + 1 < 4 → x < 3 在数轴上表示两个解集（略） 公共部分为：2 < x < 3 例 2：解不等式组 plaintext { x + 2 ≥ 5 ① 3x - 1 > 8 ② } 解： 解①：x ≥ 3 解②：3x > 9 → x > 3 公共部分：x > 3（同大取大） 四、一元一次不等式组的解集表示方法 1. 不等式表示法 如：2 < x < 3，x ≥ 5 2. 数轴表示法（直观、常用） 画数轴，标出关键点 大于（>）或小于（<）用空心圆圈表示不包含该点 大于等于（≥）或小于等于（≤）用实心圆点表示包含该点 用线段或射线表示解集范围 五、一元一次不等式组的应用 解题步骤： 设未知数 根据题意找出不等关系（关键词：至少、最多、不超过、不少于等） 列出不等式组 解不等式组 根据实际问题确定答案（注意是否取整数等） 典型应用题类型： 分配问题：如分苹果、安排座位等 行程问题：如速度、时间、路程关系 经济问题：如购物优惠、成本利润 方案设计：如选择最佳方案、购买计划 积分问题：如比赛得分、考试成绩 例：小华家距学校 2.4 千米，走到一半时发现只剩 12 分钟到校。问：他走剩下路程的平均速度至少要多少？ 解： 设速度至少为 x 千米 / 分钟 剩余路程 1.2 千米，时间≤12 分钟 不等关系：1.2/x ≤ 12 → x ≥ 0.1 答：平均速度至少要0.1 千米 / 分钟（或 6 千米 / 小时） 六、总结与要点 定义：含同一未知数的多个一元一次不等式的组合 解法：先分别求解，再找公共部分（数轴或口诀） 口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到 应用：关键是找出实际问题中的不等关系
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一元一次不等式组 一、基本概念 定义：由几个含有同一个未知数的一元一次不等式联立组成的式子，叫做一元一次不等式组。 关键条件： 每个不等式必须是一元一次不等式（只含一个未知数，且未知数次数为 1） 所有不等式必须含有同一个未知数 不等式组中至少有两个不等式 解集：不等式组中所有不等式解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集。如果没有公共部分，则称不等式组无解。 二、不等式的基本性质（解不等式的依据） 性质 1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变。若 a > b，则 a ± c > b ± c 性质 2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变。若 a > b，c > 0，则 ac > bc（或 a/c > b/c） 性质 3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变。若 a > b，c < 0，则 ac < bc（或 a/c < b/c） 三、一元一次不等式组的解法 1. 解法步骤 步骤 1：分别求出不等式组中每个不等式的解集步骤 2：将每个不等式的解集在同一个数轴上表示出来步骤 3：利用数轴找出这些解集的公共部分，即为不等式组的解集 2. 解集确定口诀（简化判断） 不等式组形式 解集 口诀 x > a x > b (a < b) x > b 同大取大 x < a x < b (a < b) x < a 同小取小 x > a x < b (a < b) a < x < b 大小小大中间找 x < a x > b (a < b) 无解 大大小小找不到 前提：不等式已化为最简形式 3. 例题解析 例 1：解不等式组 plaintext { 2x - 1 > 3 ① x + 1 < 4 ② } 解： 解不等式①：2x - 1 > 3 → 2x > 4 → x > 2 解不等式②：x + 1 < 4 → x < 3 在数轴上表示两个解集（略） 公共部分为：2 < x < 3 例 2：解不等式组 plaintext { x + 2 ≥ 5 ① 3x - 1 > 8 ② } 解： 解①：x ≥ 3 解②：3x > 9 → x > 3 公共部分：x > 3（同大取大） 四、一元一次不等式组的解集表示方法 1. 不等式表示法 如：2 < x < 3，x ≥ 5 2. 数轴表示法（直观、常用） 画数轴，标出关键点 大于（>）或小于（<）用空心圆圈表示不包含该点 大于等于（≥）或小于等于（≤）用实心圆点表示包含该点 用线段或射线表示解集范围 五、一元一次不等式组的应用 解题步骤： 设未知数 根据题意找出不等关系（关键词：至少、最多、不超过、不少于等） 列出不等式组 解不等式组 根据实际问题确定答案（注意是否取整数等） 典型应用题类型： 分配问题：如分苹果、安排座位等 行程问题：如速度、时间、路程关系 经济问题：如购物优惠、成本利润 方案设计：如选择最佳方案、购买计划 积分问题：如比赛得分、考试成绩 例：小华家距学校 2.4 千米，走到一半时发现只剩 12 分钟到校。问：他走剩下路程的平均速度至少要多少？ 解： 设速度至少为 x 千米 / 分钟 剩余路程 1.2 千米，时间≤12 分钟 不等关系：1.2/x ≤ 12 → x ≥ 0.1 答：平均速度至少要0.1 千米 / 分钟（或 6 千米 / 小时） 六、总结与要点 定义：含同一未知数的多个一元一次不等式的组合 解法：先分别求解，再找公共部分（数轴或口诀） 口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到 应用：关键是找出实际问题中的不等关系

七年级数学 / 不等式与不等式组 / 一元一次不等式 一、核心定义（关键判定条件） 一元一次不等式需同时满足 3 个条件，缺一不可： 只含1 个未知数（如 x、y，仅 1 种）； 未知数的次数为 1（无平方、立方等高于 1 次的项）； 不等式左右两边均为整式（无分母含未知数、无根号含未知数的情况）。 示例：3x+2>5（符合）、2x²-1≤0（未知数次数 2，不符）、 x 1 ​ +3<2 （分母含未知数，不符） 二、不等式的 3 个核心性质（运算依据，重点记性质 3） 性质 1：加减不变号 不等式两边同时加、减同一个数（或同一个整式），不等号方向不变。 公式：若 a>b，则 a±c > b±c；若 a<b，则 a±c < b±c 示例：5>3 → 5+2>3+2（7>5）、5-4>3-4（1>-1） 性质 2：乘除正数不变号 不等式两边同时乘、除同一个正数，不等号方向不变。 公式：若 a>b、c>0，则 ac > bc、 c a ​ > c b ​ ；若 a<b、c>0，则 ac < bc、 c a ​ < c b ​ 示例：4<6 → 4×2<6×2（8<12）、4÷2<6÷2（2<3） 性质 3：乘除负数必变号（易错点） 不等式两边同时乘、除同一个负数，不等号方向必须改变（> 变 <、≥变≤，反之亦然）。 公式：若 a>b、c<0，则 ac < bc、 c a ​ < c b ​ ；若 a<b、c<0，则 ac> bc、 c a ​ > c b ​ 示例：4<6 → 4×(-2)>6×(-2)（-8>-12）、4÷(-2)>6÷(-2)（-2>-3） 三、不等式的解集与数轴表示（直观呈现解的范围） 1. 解集定义 能使不等式成立的所有未知数的值的集合，叫不等式的解集（区别于 “解”：解是单个值，解集是所有符合条件的值）。 示例：不等式 x+1>3 的解有无数个（x=3、4、5…），解集为 x>2。 2. 数轴表示步骤（3 步到位，不踩错） 画数轴：标注原点、正方向（向右）、单位长度（均匀分段）； 定界点：解集含等号（≥、≤）→ 画实心圆点（表示包含该点）；解集不含等号（>、<）→ 画空心圆圈（表示不包含该点）； 定方向：解集为 “>、≥”→ 从界点向右画射线；解集为 “<、≤”→ 从界点向左画射线。 示例： x>2：数轴上 2 处画空心圆圈，向右画射线； x≤-1：数轴上 - 1 处画实心圆点，向左画射线。 四、解一元一次不等式的 5 步流程（类比一元一次方程，注意变号） 步骤 1：去分母（若有分母） 依据：不等式性质 2、3； 注意：两边同乘所有分母的最小公倍数，别漏乘 “不含分母的项”；若分母为负数，乘完后需按性质 3 改变不等号方向。 示例： 2 x ​ +1>3 → 两边乘 2：x + 2 > 6（无漏乘，分母为正，不变号）。 步骤 2：去括号（若有括号） 依据：乘法分配律（a (b±c)=ab±ac）； 注意：括号前是负号，去括号后括号内所有项需变号（正变负、负变正）。 示例：2 (x-3)+1≤5 → 去括号：2x - 6 + 1 ≤ 5。 步骤 3：移项（含未知数的项移左，常数项移右） 依据：不等式性质 1； 注意：移项的项需变号（移左变右、正变负、负变正），未移项的项不变号。 示例：2x - 6 + 1 ≤ 5 → 移项：2x ≤ 5 + 6 - 1（-6、+1 移右变 + 6、-1）。 步骤 4：合并同类项 依据：合并同类项法则（同类项系数相加，字母及次数不变）； 左右两边分别合并，简化为 “ax>b”“ax<b”“ax≥b”“ax≤b”（a≠0）的形式。 示例：2x ≤ 5 + 6 - 1 → 合并：2x ≤ 10。 步骤 5：系数化为 1（求最终解集） 依据：不等式性质 2、3； 注意：两边同除以未知数的系数 a： 若 a>0：不等号方向不变； 若 a<0：不等号方向必须改变。 示例：2x ≤ 10（a=2>0，不变号）→ x ≤ 5；-3x>6（a=-3<0，变号）→ x<-2。 五、常见易错点总结（避坑关键） 去分母漏乘：忘记乘 “不含分母的常数项”（如 3 x ​ −2>1 ，漏乘 2 得 x-2>3，错误）； 乘除负数忘变号：系数化为 1 时，a<0 却不换不等号方向（如 - 2x≤4，错解 x≤-2，正解 x≥-2）； 界点标注错误：含等号画空心、不含等号画实心（如 x≥3 画空心，错误）； 射线方向颠倒：“>” 向左画、“<” 向右画（如 x>1 向左画，错误）。
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七年级数学 / 不等式与不等式组 / 一元一次不等式 一、核心定义（关键判定条件） 一元一次不等式需同时满足 3 个条件，缺一不可： 只含1 个未知数（如 x、y，仅 1 种）； 未知数的次数为 1（无平方、立方等高于 1 次的项）； 不等式左右两边均为整式（无分母含未知数、无根号含未知数的情况）。 示例：3x+2>5（符合）、2x²-1≤0（未知数次数 2，不符）、 x 1 ​ +3<2 （分母含未知数，不符） 二、不等式的 3 个核心性质（运算依据，重点记性质 3） 性质 1：加减不变号 不等式两边同时加、减同一个数（或同一个整式），不等号方向不变。 公式：若 a>b，则 a±c > b±c；若 a<b，则 a±c < b±c 示例：5>3 → 5+2>3+2（7>5）、5-4>3-4（1>-1） 性质 2：乘除正数不变号 不等式两边同时乘、除同一个正数，不等号方向不变。 公式：若 a>b、c>0，则 ac > bc、 c a ​ > c b ​ ；若 a<b、c>0，则 ac < bc、 c a ​ < c b ​ 示例：4<6 → 4×2<6×2（8<12）、4÷2<6÷2（2<3） 性质 3：乘除负数必变号（易错点） 不等式两边同时乘、除同一个负数，不等号方向必须改变（> 变 <、≥变≤，反之亦然）。 公式：若 a>b、c<0，则 ac < bc、 c a ​ < c b ​ ；若 a<b、c<0，则 ac> bc、 c a ​ > c b ​ 示例：4<6 → 4×(-2)>6×(-2)（-8>-12）、4÷(-2)>6÷(-2)（-2>-3） 三、不等式的解集与数轴表示（直观呈现解的范围） 1. 解集定义 能使不等式成立的所有未知数的值的集合，叫不等式的解集（区别于 “解”：解是单个值，解集是所有符合条件的值）。 示例：不等式 x+1>3 的解有无数个（x=3、4、5…），解集为 x>2。 2. 数轴表示步骤（3 步到位，不踩错） 画数轴：标注原点、正方向（向右）、单位长度（均匀分段）； 定界点：解集含等号（≥、≤）→ 画实心圆点（表示包含该点）；解集不含等号（>、<）→ 画空心圆圈（表示不包含该点）； 定方向：解集为 “>、≥”→ 从界点向右画射线；解集为 “<、≤”→ 从界点向左画射线。 示例： x>2：数轴上 2 处画空心圆圈，向右画射线； x≤-1：数轴上 - 1 处画实心圆点，向左画射线。 四、解一元一次不等式的 5 步流程（类比一元一次方程，注意变号） 步骤 1：去分母（若有分母） 依据：不等式性质 2、3； 注意：两边同乘所有分母的最小公倍数，别漏乘 “不含分母的项”；若分母为负数，乘完后需按性质 3 改变不等号方向。 示例： 2 x ​ +1>3 → 两边乘 2：x + 2 > 6（无漏乘，分母为正，不变号）。 步骤 2：去括号（若有括号） 依据：乘法分配律（a (b±c)=ab±ac）； 注意：括号前是负号，去括号后括号内所有项需变号（正变负、负变正）。 示例：2 (x-3)+1≤5 → 去括号：2x - 6 + 1 ≤ 5。 步骤 3：移项（含未知数的项移左，常数项移右） 依据：不等式性质 1； 注意：移项的项需变号（移左变右、正变负、负变正），未移项的项不变号。 示例：2x - 6 + 1 ≤ 5 → 移项：2x ≤ 5 + 6 - 1（-6、+1 移右变 + 6、-1）。 步骤 4：合并同类项 依据：合并同类项法则（同类项系数相加，字母及次数不变）； 左右两边分别合并，简化为 “ax>b”“ax<b”“ax≥b”“ax≤b”（a≠0）的形式。 示例：2x ≤ 5 + 6 - 1 → 合并：2x ≤ 10。 步骤 5：系数化为 1（求最终解集） 依据：不等式性质 2、3； 注意：两边同除以未知数的系数 a： 若 a>0：不等号方向不变； 若 a<0：不等号方向必须改变。 示例：2x ≤ 10（a=2>0，不变号）→ x ≤ 5；-3x>6（a=-3<0，变号）→ x<-2。 五、常见易错点总结（避坑关键） 去分母漏乘：忘记乘 “不含分母的常数项”（如 3 x ​ −2>1 ，漏乘 2 得 x-2>3，错误）； 乘除负数忘变号：系数化为 1 时，a<0 却不换不等号方向（如 - 2x≤4，错解 x≤-2，正解 x≥-2）； 界点标注错误：含等号画空心、不含等号画实心（如 x≥3 画空心，错误）； 射线方向颠倒：“>” 向左画、“<” 向右画（如 x>1 向左画，错误）。

讲解图片中题目
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讲解图片中题目

位移公式s=v0t+1/2(a)t^2 是怎么推导出来的 不要使用积分
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位移公式s=v0t+1/2(a)t^2 是怎么推导出来的 不要使用积分

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