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介绍一下狭义相对论
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地球为什么是圆的
![八年级数学 / 因式分解 / 用公式法分解因式
一、知识框架（符合教学大纲核心要求）
公式法分解因式的定义：利用乘法公式的逆运算，将多项式分解为几个整式乘积的形式（本质是 “和差化积”，与整式乘法 “积化和差” 互为逆过程）。
核心公式（八年级必掌握 2 个基础公式）：
平方差公式
完全平方公式
适用条件：多项式需符合对应公式的结构特征，无需先提公因式（若有公因式需先提公因式，再用公式法）。
核心步骤：判断结构→匹配公式→验证结果→分解彻底。
二、核心公式详解（含结构特征 + 易错点）
（一）平方差公式
1. 公式形式
a
2
−b
2
=(a+b)(a−b)
（文字表述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积）
2. 结构特征（3 个关键条件，缺一不可）
多项式是二项式（只有两项）；
两项的符号一正一负（必须是 “差” 的形式，不能是 “和”）；
每一项都能写成某个整式的平方形式（含数字系数、字母、多项式整体的平方）。
3. 常见易错点
忽略数字系数的平方：如
4x
2
−9
，需先转化为
(2x)
2
−3
2
，再套用公式；
误用于 “平方和”：如
x
2
+4
不能用平方差公式分解（无实数解，八年级阶段不分解）；
分解不彻底：如
x
4
−16
，需先分解为
(x
2
+4)(x
2
−1)
，再对
x
2
−1
继续分解为
(x+1)(x−1)
，最终结果为
(x
2
+4)(x+1)(x−1)
。
4. 典型例题
基础题：分解
x
2
−16
解：
x
2
−16=x
2
−4
2
=(x+4)(x−4)
数字系数含平方：分解
25a
2
−4b
2
解：
25a
2
−4b
2
=(5a)
2
−(2b)
2
=(5a+2b)(5a−2b)
多项式整体为平方：分解
(x+2)
2
−9
解：
(x+2)
2
−9=(x+2)
2
−3
2
=[(x+2)+3][(x+2)−3]=(x+5)(x−1)
分解彻底：分解
16x
4
−y
4
解：
16x
4
−y
4
=(4x
2
)
2
−(y
2
)
2
=(4x
2
+y
2
)(4x
2
−y
2
)=(4x
2
+y
2
)(2x+y)(2x−y)
（二）完全平方公式
1. 公式形式（两式：和的平方、差的平方）
a
2
+2ab+b
2
=(a+b)
2
a
2
−2ab+b
2
=(a−b)
2
（文字表述：两个数的平方和，加上或减去这两个数乘积的 2 倍，等于这两个数的和或差的平方）
2. 结构特征（3 个关键条件，缺一不可）
多项式是三项式（含三项，核心是 “首尾平方项 + 中间交叉项”）；
首尾两项是非负的平方形式（符号相同，可提取负号后转化为平方，如
−x
2
+2xy−y
2
=−(x
2
−2xy+y
2
)
）；
中间项是首尾两项底数乘积的 2 倍（符号与公式中的 “±” 一致，即和的平方中间为正，差的平方中间为负）。
3. 记忆口诀（帮你快速判断）
“首平方，尾平方，首尾乘积的 2 倍在中央，符号看前方，完全平方把名扬”。
4. 常见易错点
中间项漏乘 2：如
x
2
+xy+y
2
不是完全平方式（中间项应为
2xy
）；
首尾项不是平方数：如
x
2
+6x+8
（尾项 8 不是平方数，不能用完全平方公式）；
符号判断错误：如
x
2
−8x+16
，中间项为负，对应 “差的平方”，分解为
(x−4)
2
；
首项系数不为 1 时忽略转化：如
4x
2
−12xy+9y
2
，需先转化为
(2x)
2
−2⋅2x⋅3y+(3y)
2
，再套用公式。
5. 典型例题
基础题（和的平方）：分解
x
2
+10x+25
解：
x
2
+10x+25=x
2
+2⋅x⋅5+5
2
=(x+5)
2
基础题（差的平方）：分解
a
2
−8a+16
解：
a
2
−8a+16=a
2
−2⋅a⋅4+4
2
=(a−4)
2
首项系数不为 1：分解
9x
2
+12xy+4y
2
解：
9x
2
+12xy+4y
2
=(3x)
2
+2⋅3x⋅2y+(2y)
2
=(3x+2y)
2
含负号：分解
−x
2
+6xy−9y
2
解：先提取负号→
−(x
2
−6xy+9y
2
)=−[x
2
−2⋅x⋅3y+(3y)
2
]=−(x−3y)
2
三、公式法分解因式的核心步骤（通用流程）
先提公因式：若多项式各项有公因式，先提取公因式（如
2x
2
−8=2(x
2
−4)
，再对
x
2
−4
用平方差公式）；
判断结构：
二项式→看是否为 “平方差”（一正一负、两项均为平方）；
三项式→看是否为 “完全平方式”（首尾平方、中间 2 倍乘积）；
套用公式：根据结构匹配对应公式，注意符号和系数的转化；
验证彻底：分解后检查每个因式是否还能继续分解（如
x
4
−1
需分解到
(x
2
+1)(x+1)(x−1)
）；
检验结果：用整式乘法逆推验证（如
(x+3)(x−3)=x
2
−9
，与原式一致则正确）。
四、综合练习题（基础→提升，附解析思路）
1. 基础题（直接套用公式）
（平方差）
m
2
−9n
2
→ 思路：
(m)
2
−(3n)
2
=(m+3n)(m−3n)
（完全平方）
x
2
−12x+36
→ 思路：
x
2
−2⋅x⋅6+6
2
=(x−6)
2
2. 提升题（先提公因式 + 公式）
3a
3
−12a
→ 思路：先提
3a
→
3a(a
2
−4)
，再用平方差→
3a(a+2)(a−2)
2x
2
y−8xy+8y
→ 思路：先提
2y
→
2y(x
2
−4x+4)
，再用完全平方→
2y(x−2)
2
3. 拓展题（多项式整体为底数）
(a+b)
2
−(c−d)
2
→ 思路：平方差公式→
[(a+b)+(c−d)][(a+b)−(c−d)]=(a+b+c−d)(a+b−c+d)
(x
2
+1)
2
−4x
2
→ 思路：平方差→
[(x
2
+1)+2x][(x
2
+1)−2x]=(x+1)
2
(x−1)
2
（后续两个因式均为完全平方式）
五、中考高频考点总结
公式的灵活运用：尤其是含数字系数、多项式底数的分解（如
(2x−y)
2
−(x+2y)
2
）；
分解彻底的要求：中考评分标准中，未分解彻底不得满分（如
x
4
−16
只分解到
(x
2
+4)(x
2
−4)
得一半分）；
与其他知识点结合：常与一元二次方程、分式化简、代数式求值结合（如先分解因式再代入计算：已知
x+y=5
，
x−y=3
，求
x
2
−y
2
的值→分解为
(x+y)(x−y)=5×3=15
）。](https://manimvideo.explanation.fun/video/cover/596386302997843969.png)
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八年级数学 / 因式分解 / 用公式法分解因式 一、知识框架（符合教学大纲核心要求） 公式法分解因式的定义：利用乘法公式的逆运算，将多项式分解为几个整式乘积的形式（本质是 “和差化积”，与整式乘法 “积化和差” 互为逆过程）。 核心公式（八年级必掌握 2 个基础公式）： 平方差公式 完全平方公式 适用条件：多项式需符合对应公式的结构特征，无需先提公因式（若有公因式需先提公因式，再用公式法）。 核心步骤：判断结构→匹配公式→验证结果→分解彻底。 二、核心公式详解（含结构特征 + 易错点） （一）平方差公式 1. 公式形式 a 2 −b 2 =(a+b)(a−b) （文字表述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积） 2. 结构特征（3 个关键条件，缺一不可） 多项式是二项式（只有两项）； 两项的符号一正一负（必须是 “差” 的形式，不能是 “和”）； 每一项都能写成某个整式的平方形式（含数字系数、字母、多项式整体的平方）。 3. 常见易错点 忽略数字系数的平方：如 4x 2 −9 ，需先转化为 (2x) 2 −3 2 ，再套用公式； 误用于 “平方和”：如 x 2 +4 不能用平方差公式分解（无实数解，八年级阶段不分解）； 分解不彻底：如 x 4 −16 ，需先分解为 (x 2 +4)(x 2 −1) ，再对 x 2 −1 继续分解为 (x+1)(x−1) ，最终结果为 (x 2 +4)(x+1)(x−1) 。 4. 典型例题 基础题：分解 x 2 −16 解： x 2 −16=x 2 −4 2 =(x+4)(x−4) 数字系数含平方：分解 25a 2 −4b 2 解： 25a 2 −4b 2 =(5a) 2 −(2b) 2 =(5a+2b)(5a−2b) 多项式整体为平方：分解 (x+2) 2 −9 解： (x+2) 2 −9=(x+2) 2 −3 2 =[(x+2)+3][(x+2)−3]=(x+5)(x−1) 分解彻底：分解 16x 4 −y 4 解： 16x 4 −y 4 =(4x 2 ) 2 −(y 2 ) 2 =(4x 2 +y 2 )(4x 2 −y 2 )=(4x 2 +y 2 )(2x+y)(2x−y) （二）完全平方公式 1. 公式形式（两式：和的平方、差的平方） a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2 a 2 −2ab+b 2 =(a−b) 2 （文字表述：两个数的平方和，加上或减去这两个数乘积的 2 倍，等于这两个数的和或差的平方） 2. 结构特征（3 个关键条件，缺一不可） 多项式是三项式（含三项，核心是 “首尾平方项 + 中间交叉项”）； 首尾两项是非负的平方形式（符号相同，可提取负号后转化为平方，如 −x 2 +2xy−y 2 =−(x 2 −2xy+y 2 ) ）； 中间项是首尾两项底数乘积的 2 倍（符号与公式中的 “±” 一致，即和的平方中间为正，差的平方中间为负）。 3. 记忆口诀（帮你快速判断） “首平方，尾平方，首尾乘积的 2 倍在中央，符号看前方，完全平方把名扬”。 4. 常见易错点 中间项漏乘 2：如 x 2 +xy+y 2 不是完全平方式（中间项应为 2xy ）； 首尾项不是平方数：如 x 2 +6x+8 （尾项 8 不是平方数，不能用完全平方公式）； 符号判断错误：如 x 2 −8x+16 ，中间项为负，对应 “差的平方”，分解为 (x−4) 2 ； 首项系数不为 1 时忽略转化：如 4x 2 −12xy+9y 2 ，需先转化为 (2x) 2 −2⋅2x⋅3y+(3y) 2 ，再套用公式。 5. 典型例题 基础题（和的平方）：分解 x 2 +10x+25 解： x 2 +10x+25=x 2 +2⋅x⋅5+5 2 =(x+5) 2 基础题（差的平方）：分解 a 2 −8a+16 解： a 2 −8a+16=a 2 −2⋅a⋅4+4 2 =(a−4) 2 首项系数不为 1：分解 9x 2 +12xy+4y 2 解： 9x 2 +12xy+4y 2 =(3x) 2 +2⋅3x⋅2y+(2y) 2 =(3x+2y) 2 含负号：分解 −x 2 +6xy−9y 2 解：先提取负号→ −(x 2 −6xy+9y 2 )=−[x 2 −2⋅x⋅3y+(3y) 2 ]=−(x−3y) 2 三、公式法分解因式的核心步骤（通用流程） 先提公因式：若多项式各项有公因式，先提取公因式（如 2x 2 −8=2(x 2 −4) ，再对 x 2 −4 用平方差公式）； 判断结构： 二项式→看是否为 “平方差”（一正一负、两项均为平方）； 三项式→看是否为 “完全平方式”（首尾平方、中间 2 倍乘积）； 套用公式：根据结构匹配对应公式，注意符号和系数的转化； 验证彻底：分解后检查每个因式是否还能继续分解（如 x 4 −1 需分解到 (x 2 +1)(x+1)(x−1) ）； 检验结果：用整式乘法逆推验证（如 (x+3)(x−3)=x 2 −9 ，与原式一致则正确）。 四、综合练习题（基础→提升，附解析思路） 1. 基础题（直接套用公式） （平方差） m 2 −9n 2 → 思路： (m) 2 −(3n) 2 =(m+3n)(m−3n) （完全平方） x 2 −12x+36 → 思路： x 2 −2⋅x⋅6+6 2 =(x−6) 2 2. 提升题（先提公因式 + 公式） 3a 3 −12a → 思路：先提 3a → 3a(a 2 −4) ，再用平方差→ 3a(a+2)(a−2) 2x 2 y−8xy+8y → 思路：先提 2y → 2y(x 2 −4x+4) ，再用完全平方→ 2y(x−2) 2 3. 拓展题（多项式整体为底数） (a+b) 2 −(c−d) 2 → 思路：平方差公式→ [(a+b)+(c−d)][(a+b)−(c−d)]=(a+b+c−d)(a+b−c+d) (x 2 +1) 2 −4x 2 → 思路：平方差→ [(x 2 +1)+2x][(x 2 +1)−2x]=(x+1) 2 (x−1) 2 （后续两个因式均为完全平方式） 五、中考高频考点总结 公式的灵活运用：尤其是含数字系数、多项式底数的分解（如 (2x−y) 2 −(x+2y) 2 ）； 分解彻底的要求：中考评分标准中，未分解彻底不得满分（如 x 4 −16 只分解到 (x 2 +4)(x 2 −4) 得一半分）； 与其他知识点结合：常与一元二次方程、分式化简、代数式求值结合（如先分解因式再代入计算：已知 x+y=5 ， x−y=3 ，求 x 2 −y 2 的值→分解为 (x+y)(x−y)=5×3=15 ）。
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1+1=?
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太阳系的起源
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![八年级数学 / 因式分解 / 用提公因式法分解因式
一、核心概念（夯实基础）
1. 公因式的定义
一个多项式中各项都含有的公共因式，叫做这个多项式各项的公因式。
公因式的构成：① 系数部分：各项系数的最大公约数（若系数为负，取绝对值的最大公约数，最终公因式的符号由多项式首项符号决定，通常使首项为正）；② 字母部分：各项中相同的字母，且取相同字母的最低次幂；③ 特殊情况：公因式可以是单项式，也可以是多项式（如
(a+b)
作为公共因式）。
示例：多项式
8a
3
b
2
−12ab
3
c
的公因式：系数部分：8 和 12 的最大公约数是 4；字母部分：相同字母为
a
（最低次幂
a
1
）、
b
（最低次幂
b
2
），无公共字母
c
；因此公因式为
4ab
2
。
2. 提公因式法的定义
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提取出来，将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
本质：逆用乘法分配律（
ma+mb+mc=m(a+b+c)
，其中
m
为公因式）。
二、提公因式法的解题步骤（规范操作）
步骤 1：找公因式（关键步骤）
按 “系数→字母→多项式” 的顺序找，确保不遗漏：① 找系数的最大公约数（含符号处理）；② 找相同字母的最低次幂；③ 若各项含有相同的多项式因式，将其视为一个整体作为公因式。
步骤 2：提公因式
用多项式的每一项除以公因式，得到另一个因式，公因式写在括号外，两个因式用乘法连接。
注意：提取公因式后，括号内的各项系数、字母次数要与原多项式对应，不能漏项。
步骤 3：验结果（避免出错）
用乘法分配律将分解后的式子展开，看是否与原多项式相等，若相等则分解正确。
三、典型例题（分层突破）
类型 1：公因式为单项式（基础题）
例 1：分解因式
6x
2
y−9xy
2
+3xy
步骤 1：找公因式
系数：6、-9、3 的最大公约数是 3；
字母：相同字母
x
（最低次幂
x
1
）、
y
（最低次幂
y
1
）；
公因式为
3xy
。
步骤 2：提公因式
每一项除以
3xy
：
6x
2
y÷3xy=2x
，
−9xy
2
÷3xy=−3y
，
3xy÷3xy=1
；
因此分解结果：
3xy(2x−3y+1)
（注意：最后一项除以公因式得 1，不能漏写）。
步骤 3：验证
展开
3xy(2x−3y+1)=6x
2
y−9xy
2
+3xy
，与原多项式一致，正确。
例 2：分解因式
−4a
3
b
2
+6a
2
b−2ab
步骤 1：找公因式
首项为负，先提取 “-” 号，再找系数绝对值的最大公约数：4、6、2 的最大公约数是 2；
字母：相同字母
a
（最低次幂
a
1
）、
b
（最低次幂
b
1
）；
公因式为
−2ab
（提负号后，括号内各项符号要改变）。
步骤 2：提公因式
−4a
3
b
2
÷(−2ab)=2a
2
b
，
6a
2
b÷(−2ab)=−3a
，
−2ab÷(−2ab)=1
；
分解结果：
−2ab(2a
2
b−3a+1)
。
类型 2：公因式为多项式（进阶题）
例 3：分解因式
3(x−y)−2(x−y)
2
步骤 1：找公因式
各项都含多项式因式
(x−y)
，最低次幂为
(x−y)
1
；
系数：3、-2 的最大公约数是 1；
公因式为
(x−y)
。
步骤 2：提公因式
3(x−y)÷(x−y)=3
，
−2(x−y)
2
÷(x−y)=−2(x−y)
；
分解结果：
(x−y)[3−2(x−y)]=(x−y)(3−2x+2y)
（括号内可整理，去括号后合并同类项）。
例 4：分解因式
a(x−3)+2b(3−x)
关键：注意
(3−x)=−(x−3)
，先统一公因式；
步骤 1：变形后找公因式
原式 =
a(x−3)−2b(x−3)
，公因式为
(x−3)
；
步骤 2：提公因式
分解结果：
(x−3)(a−2b)
。
四、易错点总结（避坑指南）
漏提系数的最大公约数：如将
4x
2
−6x
分解为
2x(x−3)
（错误，应为
2x(2x−3)
）；
漏提相同字母的最低次幂：如将
x
3
y
2
−x
2
y
3
分解为
x
2
y(x−y
2
)
（错误，应为
x
2
y
2
(x−y)
）；
提公因式后漏写 “1”：如将
2x+4
分解为
2(x)
（错误，应为
2(x+2)
）；
符号错误：首项为负时未提负号，或提负号后括号内各项符号未改变；
公因式为多项式时未统一形式：如
(x−y)
和
(y−x)
需先转化为相同形式。
五、基础练习（巩固提升）
分解因式：
12x
3
y−18x
2
y
2
（答案：
6x
2
y(2x−3y)
）
分解因式：
−8a
2
b+12ab
2
−4ab
（答案：
−4ab(2a−3b+1)
）
分解因式：
5(x+2)−3(x+2)
2
（答案：
(x+2)(5−3x−6)=(x+2)(−3x−1)=−(x+2)(3x+1)
）
分解因式：
m(a−b)−n(b−a)
（答案：
(a−b)(m+n)
）
六、总结
提公因式法是因式分解的最基础、最常用方法，核心是 “找准公因式”，关键在于兼顾系数、字母、多项式因式的提取，同时注意符号和漏项问题。掌握此方法后，能为后续学习公式法、十字相乘法等复杂因式分解打下基础，解题时需遵循 “找→提→验” 的步骤，规范操作，避免易错点。](https://manimvideo.explanation.fun/video/cover/596037600963858433.png)
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八年级数学 / 因式分解 / 用提公因式法分解因式 一、核心概念（夯实基础） 1. 公因式的定义 一个多项式中各项都含有的公共因式，叫做这个多项式各项的公因式。 公因式的构成：① 系数部分：各项系数的最大公约数（若系数为负，取绝对值的最大公约数，最终公因式的符号由多项式首项符号决定，通常使首项为正）；② 字母部分：各项中相同的字母，且取相同字母的最低次幂；③ 特殊情况：公因式可以是单项式，也可以是多项式（如 (a+b) 作为公共因式）。 示例：多项式 8a 3 b 2 −12ab 3 c 的公因式：系数部分：8 和 12 的最大公约数是 4；字母部分：相同字母为 a （最低次幂 a 1 ）、 b （最低次幂 b 2 ），无公共字母 c ；因此公因式为 4ab 2 。 2. 提公因式法的定义 如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提取出来，将多项式化成两个因式乘积的形式，这种因式分解的方法叫做提公因式法。 本质：逆用乘法分配律（ ma+mb+mc=m(a+b+c) ，其中 m 为公因式）。 二、提公因式法的解题步骤（规范操作） 步骤 1：找公因式（关键步骤） 按 “系数→字母→多项式” 的顺序找，确保不遗漏：① 找系数的最大公约数（含符号处理）；② 找相同字母的最低次幂；③ 若各项含有相同的多项式因式，将其视为一个整体作为公因式。 步骤 2：提公因式 用多项式的每一项除以公因式，得到另一个因式，公因式写在括号外，两个因式用乘法连接。 注意：提取公因式后，括号内的各项系数、字母次数要与原多项式对应，不能漏项。 步骤 3：验结果（避免出错） 用乘法分配律将分解后的式子展开，看是否与原多项式相等，若相等则分解正确。 三、典型例题（分层突破） 类型 1：公因式为单项式（基础题） 例 1：分解因式 6x 2 y−9xy 2 +3xy 步骤 1：找公因式 系数：6、-9、3 的最大公约数是 3； 字母：相同字母 x （最低次幂 x 1 ）、 y （最低次幂 y 1 ）； 公因式为 3xy 。 步骤 2：提公因式 每一项除以 3xy ： 6x 2 y÷3xy=2x ， −9xy 2 ÷3xy=−3y ， 3xy÷3xy=1 ； 因此分解结果： 3xy(2x−3y+1) （注意：最后一项除以公因式得 1，不能漏写）。 步骤 3：验证 展开 3xy(2x−3y+1)=6x 2 y−9xy 2 +3xy ，与原多项式一致，正确。 例 2：分解因式 −4a 3 b 2 +6a 2 b−2ab 步骤 1：找公因式 首项为负，先提取 “-” 号，再找系数绝对值的最大公约数：4、6、2 的最大公约数是 2； 字母：相同字母 a （最低次幂 a 1 ）、 b （最低次幂 b 1 ）； 公因式为 −2ab （提负号后，括号内各项符号要改变）。 步骤 2：提公因式 −4a 3 b 2 ÷(−2ab)=2a 2 b ， 6a 2 b÷(−2ab)=−3a ， −2ab÷(−2ab)=1 ； 分解结果： −2ab(2a 2 b−3a+1) 。 类型 2：公因式为多项式（进阶题） 例 3：分解因式 3(x−y)−2(x−y) 2 步骤 1：找公因式 各项都含多项式因式 (x−y) ，最低次幂为 (x−y) 1 ； 系数：3、-2 的最大公约数是 1； 公因式为 (x−y) 。 步骤 2：提公因式 3(x−y)÷(x−y)=3 ， −2(x−y) 2 ÷(x−y)=−2(x−y) ； 分解结果： (x−y)[3−2(x−y)]=(x−y)(3−2x+2y) （括号内可整理，去括号后合并同类项）。 例 4：分解因式 a(x−3)+2b(3−x) 关键：注意 (3−x)=−(x−3) ，先统一公因式； 步骤 1：变形后找公因式 原式 = a(x−3)−2b(x−3) ，公因式为 (x−3) ； 步骤 2：提公因式 分解结果： (x−3)(a−2b) 。 四、易错点总结（避坑指南） 漏提系数的最大公约数：如将 4x 2 −6x 分解为 2x(x−3) （错误，应为 2x(2x−3) ）； 漏提相同字母的最低次幂：如将 x 3 y 2 −x 2 y 3 分解为 x 2 y(x−y 2 ) （错误，应为 x 2 y 2 (x−y) ）； 提公因式后漏写 “1”：如将 2x+4 分解为 2(x) （错误，应为 2(x+2) ）； 符号错误：首项为负时未提负号，或提负号后括号内各项符号未改变； 公因式为多项式时未统一形式：如 (x−y) 和 (y−x) 需先转化为相同形式。 五、基础练习（巩固提升） 分解因式： 12x 3 y−18x 2 y 2 （答案： 6x 2 y(2x−3y) ） 分解因式： −8a 2 b+12ab 2 −4ab （答案： −4ab(2a−3b+1) ） 分解因式： 5(x+2)−3(x+2) 2 （答案： (x+2)(5−3x−6)=(x+2)(−3x−1)=−(x+2)(3x+1) ） 分解因式： m(a−b)−n(b−a) （答案： (a−b)(m+n) ） 六、总结 提公因式法是因式分解的最基础、最常用方法，核心是 “找准公因式”，关键在于兼顾系数、字母、多项式因式的提取，同时注意符号和漏项问题。掌握此方法后，能为后续学习公式法、十字相乘法等复杂因式分解打下基础，解题时需遵循 “找→提→验” 的步骤，规范操作，避免易错点。
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what is Residual
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什么是平均数
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二、核心乘法公式详解 1. 平方差公式 标准形式： (a+b)(a−b)=a 2 −b 2 语言描述：两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差 推导过程（多项式乘法展开）： (a+b)(a−b) =a⋅a+a⋅(−b)+b⋅a+b⋅(−b) =a 2 −ab+ab−b 2 =a 2 −b 2 结构特点： 左边：两个二项式相乘，其中一项完全相同（ a ），另一项互为相反数（ b 与 −b ） 右边：相同项的平方减去相反项的平方（同方减反方） 几何意义：边长为 a 的正方形中挖去边长为 b 的小正方形，剩余部分面积为 a 2 −b 2 ，可拼成一个长 (a+b) 、宽 (a−b) 的矩形 2. 完全平方公式（和与差） 完全平方和公式： 标准形式： (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 语言描述：两数和的平方，等于它们的平方和加上它们积的 2 倍 完全平方差公式： 标准形式： (a−b) 2 =a 2 −2ab+b 2 语言描述：两数差的平方，等于它们的平方和减去它们积的 2 倍 推导过程（以和为例）： (a+b) 2 =(a+b)(a+b) =a⋅a+a⋅b+b⋅a+b⋅b =a 2 +2ab+b 2 结构特点（口诀：首平方，尾平方，积的 2 倍在中央）： 左边：二项式的平方（两个相同二项式相乘） 右边：三项式，包含首项平方（ a 2 ）、尾项平方（ b 2 ）、中间交叉项的 2 倍（ ±2ab ），符号与左边二项式中间符号相同 几何意义（以和为例）：边长为 a+b 的正方形，可分为边长为 a 的正方形、边长为 b 的正方形，以及两个长 a 宽 b 的矩形，面积和为 a 2 +2ab+b 2 三、公式的灵活应用 1. 基本应用：直接套用公式 平方差公式示例： (x+3)(x−3)=x 2 −3 2 =x 2 −9 (2a+5b)(2a−5b)=(2a) 2 −(5b) 2 =4a 2 −25b 2 完全平方公式示例： (m+4) 2 =m 2 +2⋅m⋅4+4 2 =m 2 +8m+16 (3x−2y) 2 =(3x) 2 −2⋅3x⋅2y+(2y) 2 =9x 2 −12xy+4y 2
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